Repensar la currícula del futuro. Nuestro cerebro está listo para aprender matemáticas.
Resumen ejecutivo
- La calidad de comprensión lectora se percibe en jaque en América Latina. A pesar de que se trata de un problema multicausal, la investigación en las ciencias del
- Poder comprender números y operar con ellos es crucial para la vida real: los usamos para saber qué hora es, encontrar nuestro ómnibus en una estación, entender un análisis de sangre e incluso decidir qué compra conviene hacer en el supermercado.
- Las matemáticas son tan fundamentales que existe un sentido numérico que compartimos con otras especies. A pesar de ser rudimentario, esta base nos permite, incluso de bebés, estimar cantidades numéricas y operar con ellas.
- La educación debe montarse sobre esa base, pero ajustarla y hacerla más precisa y más útil para el mundo real.
- Ese sentido numérico no es suficiente. Establecer lazos concretos con la matemática simbólica y ejercitar dichas relaciones de un modo acompañado, progresivo y sostenido permitirá la comprensión numérica inicial y el razonamiento matemático en niveles más avanzados.
- Se plantean ejemplos de intervenciones sencillas para mejorar el entendimiento de las magnitudes numéricas y lograr dominar aspectos matemáticos.
- Se justifica la relevancia de estimar, comparar, contar, enseñar vocabulario apropiado y utilizar la recta numérica para comprender magnitudes y cantidades y operar eficaz y eficientemente con ellas logrando cierto manejo natural de los números.
- Se discuten estas prácticas en contextos actuales y se promueve la reflexión sobre cómo el aprendizaje matemático puede ser afectado en muchos países por el manejo virtual del dinero y sus números grandes producto de la inflación.
Aprendemos porque nuestro cerebro cambia y, con eso, cambia también la manera en que podemos ver, entender, comprender y responder al mundo. Situaciones educativas, sean formales, como la escuela, o informales, como juego o lectura compartidos, pueden generar cambios a nivel cerebral y conductual. Pero esos cambios no van a darse en cualquier dirección o sentido. Nuestra conducta, y su arquitectura neural subyacente, imponen restricciones fisiológicas, dadas por la naturaleza y por las experiencias vividas previamente[i]. Para ser exitosa, la educación debe construir sobre esas habilidades cognitivas cuyos rudimentos ya vienen “preparados de fábrica”. Es el caso, por ejemplo, de las matemáticas.
Matemática
Los bebés pueden contar. Aun sin saber decir, ni pensar, “uno, dos, tres”, desde unos pocos días de vida logran distinguir cuando dos cantidades son lo suficientemente diferentes[ii]. Nacemos con un conjunto de habilidades neurobiológicas independientes de lenguaje que, entre otras cosas, permiten cierta percepción y discriminación de magnitudes. Algunos autores plantean que esta capacidad básica es innata y está relacionada con la percepción visual y auditiva[iii], de ahí que se la identifique como una suerte de sentido,[iv] y que la agudeza de este sentido va mejorando con la edad -hasta cierto punto-. Pero no hay evidencia clara sobre una relación directa y causal entre el sentido numérico y el rendimiento formal en matemática[v]. Otra rama de la biblioteca plantea que lo relevante es cómo lo innato es moldeado y modificado por las experiencias y que, por lo tanto, es imprescindible proveer a los niños de oportunidades para desarrollar dichas habilidades.[vi]
Si bien estas posiciones son en parte contrapuestas en la literatura,[vii] sus puntos en común son cruciales para la educación. Porque el sentido numérico es la expresión conductual de una base neural, fisiológica, que, con demandas apropiadas, nos permite lidiar y, eventualmente, dominar la matemática simbólica. Nuestro sistema nervioso está preparado para comprender y estimar cantidades numéricas y para operar con ellas, pero hay que ejercitarlo. Con el tiempo y los estímulos apropiados aprendemos que a las diferentes cantidades se les pueden poner “etiquetas numéricas” (verbales) y, con el suficiente andamiaje, practicamos y, de a poco, logramos representárnoslas y manipularlas de un modo más exacto.
Esta teoría integrada del desarrollo numérico[viii] indica que a medida que una persona (sea en la niñez, adolescencia o adultez) tenga mayor conocimiento y comprensión de cantidades y magnitudes, logrará operar más eficaz y/o eficientemente con ellas. Por lo tanto, mejorar la comprensión numérica, explícita e implícita, redundará en una mejora en el aprendizaje y el rendimiento matemático en general.
Aprovechar las bases fisiológicas para mejorar el rendimiento en matemática
El aprendizaje de matemática en los primeros años de la escuela primaria depende en parte del manejo numérico que tengan los niños en el nivel inicial[ix]. Más aún, las diferencias en el nivel de habilidad matemática suelen mantenerse a lo largo de toda la escolaridad: aquellos niños y niñas que, incluso tan temprano como al inicio de la escuela primaria, demuestran menor nivel en matemáticas, usualmente continúan teniendo menor rendimiento que sus pares y es menos probable que posteriormente elijan estudiar tópicos relacionados con la matemática[x]. A pesar de que estas decisiones podrían atribuirse al libre albedrío y a una suerte de imposibilidad biológica, hoy sabemos que todos y todas estamos preparados fisiológicamente para aprender matemáticas y que para ello precisamos acompañamiento, estrategias y desafíos apropiados.
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona pueda dominar aspectos matemáticos puede favorecerse mediante intervenciones sencillas que logren mejorar la comprensión y el entendimiento de las magnitudes numéricas. A continuación, veremos tres posibilidades de intervención que surgen del conocimiento acumulado proveniente de las ciencias del aprendizaje y que pueden facilitar el desarrollo de habilidades matemáticas a diversos niveles.
Caso 1: desarrollar conexiones entre distintas representaciones
El conocimiento de matemática simbólica media la transición entre el aprendizaje informal y el formal de matemáticas y es predictor del rendimiento escolar. Si bien se ha encontrado que diferencias individuales en la precisión del sentido numérico[1] correlacionan con el rendimiento en matemática simbólica desde muy temprano,[xi] a diversas edades[xii] e, incluso, en adolescentes particularmente talentosos[xiii], hay consenso en que la ejercitación del sentido numérico requiere incluir explícitamente lazos con la matemática simbólica[xiv].
Junto con la comprensión no simbólica también se va desarrollando el sistema simbólico y ordinal. Independientemente de si uno prima sobre el otro o de si constituyen una suerte de círculo virtuoso, es necesario incorporar la simbología, explicitando relaciones entre las cantidades no simbólicas y las simbólicas (decir “cinco” señalando o dibujando un 5 o contando con los dedos, por ejemplo). Así, algunos conceptos formales como símbolos y números logran incorporarse de modo temprano en contextos informales y actividades lúdicas[xv], como contar, jugar juegos de mesa que incluyan contenido numérico, comparar conjuntos de objetos, reconocer números y formas, etc. En líneas generales, se trata de exponer tempranamente a niños y niñas a interactuar de todas las formas posibles con cantidades y magnitudes[xvi] para lograr que conecten las representaciones no simbólicas con las simbólicas, sentando las bases para que la matemática pueda aprenderse y aprehenderse.
Caso 2: la recta numérica y la importancia del espacio
El desarrollo de la comprensión numérica implica aprender que las cantidades pueden representarse como magnitudes y ordenarse en un continuo lineal (mental) que se extiende horizontalmente, con magnitudes mayores localizadas, de modo incremental, hacia la derecha de la recta, si bien esta orientación puede determinarse culturalmente[xvii]. Esta relación espacio-numérica es preliteraria y, de hecho, se encuentra desde la más temprana infancia[xviii] y hasta podría ser innata, dado que se ha observado en bebés de menos de 3 días de vida[xix].
La representación espacial interna organizada en formato de recta numérica es una estructura dinámica que comienza con pocas cantidades, pequeñas magnitudes, y que progresivamente va ampliándose para incluir números más grandes y, luego, negativos, fracciones, decimales. Representar mentalmente los números de este modo se asocia con la destreza en matemática formal[xx]. El rendimiento en la recta numérica a los 6 años de edad, por ejemplo, predice el rendimiento en cálculos simbólicos a los 8 años[xxi], posiblemente porque la ejercitación temprana con una representación como la recta numérica facilita la comprensión del concepto de linealidad[2] sobre el que se basa la matemática formal.
Si bien establecer una representación sistemática y ordenada es, a priori, una tarea de tipo espacial, aún no queda del todo claro qué explica la relación que se observa entre las habilidades de los razonamientos espacial y numérico[xxii]. No obstante, la relación existe[xxiii] y desde la literatura se propone que el razonamiento espacial puede estimularse con tareas que lo demanden; o sea, que requieran, física o imaginariamente, ubicarse, moverse y/u orientarse en el espacio. Videojuegos especialmente diseñados[xxiv] o juegos en el mundo físico, como construir con bloques, resolver rompecabezas, armar origamis[xxv], correr, saltar, esconderse, son tareas que pueden favorecer el desarrollo del razonamiento espacial de los niños.
Caso 3: la cultura y el lenguaje
El lenguaje moldea, y es moldeado, por la cognición. El rendimiento en matemáticas depende de la adquisición de lenguaje apropiado[xxvi], porque este influye en cómo los niños comprenden y razonan con números y símbolos, lo que finalmente les permite operar con problemas aritméticos. Por ejemplo, algunas culturas que no tienen un tipo de representación numérica tan exacto como el occidental[xxvii] (porque no lo han necesitado ni ejercitado) carecen de la mayoría de palabras numéricas y esto provoca que solo puedan identificar cantidades muy pequeñas sin cometer errores.[xxviii] La relevancia del manejo del lenguaje se pone en evidencia también en el aula: las instrucciones en clase dependen de explicaciones orales y resolver problemas requiere, entre otras cosas, contar con vocabulario especializado, que, además, en muchos casos tiene connotación distinta a la de fuera del aula (palabras como “y”, “por”, “menos”, “volumen”, etc.). Incorporar tempranamente vocabulario en general, y matemático en particular, que no solo permita contar, sino también comparar y operar con diferentes cantidades y magnitudes y comprender consignas favorecerá el desarrollo del espacio numérico que sentará las bases para una matemática simbólica sólida.
La relevancia del lenguaje se pone también en evidencia, por ejemplo, por la manera de dar la información. Cómo se eligen las palabras por utilizar puede afectar el rendimiento. En una serie de investigaciones,[xxix] estudiantes de matemáticas de varias edades resolvieron problemas presentados de distintas formas. Representados como símbolos (X + 3 = 7), como problemas sencillos (“Si a un número le sumamos 3, da 7; ¿cuál es ese número?”) o como parte de historias (“Carlos tenía caramelos y al pasar por un kiosco su mamá le compró 3 más y cuando Carlos contó todos los caramelos, descubrió que tenía 7. ¿Cuántos caramelos tenía antes del kiosco?”). Los investigadores no solo evaluaron a los estudiantes, sino que también analizaron cómo pensaban los docentes que les iría a sus alumnos según cada presentación del problema. La mayor parte de los docentes pensaban que a los alumnos les iría mejor con la primera opción porque estarían directamente resolviendo la ecuación apropiada. En cambio, frente a una historia, asumían que sus alumnos deberían traducir las palabras a números y símbolos para, después, resolverlos, y que eso disminuiría su rendimiento. Lo que encontraron, sin embargo, es que cuando los estudiantes ya habían cursado uno o dos años de matemática, los problemas les resultaban más fáciles cuando contaban una historia que cuando la representación era meramente simbólica (los alumnos resolvían más ejercicios correctamente cuando la representación era del tercer tipo ejemplificado). Parte del problema de enseñar implica entender dónde radican las dificultades de quien va a aprender, qué le resulta más fácil y qué no. Cuando uno sabe mucho sobre algo, ya perdió esa perspectiva y hay que hacer muchos esfuerzos para encontrarla. Así, puede resultar que un excelente profesional sea un mal docente porque no logra comprender las dificultades a las que pueden enfrentarse sus estudiantes cuando requieren contexto para comprender más cabalmente una situación y poder resolverla.
Los tres casos previos no son ejemplos exhaustivos de lo que sucede, o puede suceder, en un contexto educativo, pero ayudan a entender cómo algunas situaciones cotidianas pueden modificarse de un modo relativamente sencillo para que el aprendizaje de matemáticas no resulte tan ajeno a un porcentaje sustancial de la población.
Las matemáticas resultan difíciles
Hay una variedad de explicaciones de por qué las matemáticas cuestan[xxx]. Existen explicaciones cognitivas que versan sobre la dificultad intrínseca de la mente para comprender fracciones o decimales y una antiintuición para operar con ellos (porque, por ejemplo, ½ + ⅓ no es 2/5; o porque 0,5 x 2 es menos que 2). Otras explicaciones apuntan a que parte de lo que se enseña en matemática incluye resolver una cuenta utilizando un algoritmo sin que se comprenda qué es lo que está sucediendo de fondo, cuáles son los fundamentos de cada paso. Solo se repiten los procedimientos mecánicamente. Así, solemos, por ejemplo, recordar el algoritmo para dividir, pero nos cuesta mucho, o hasta resulta imposible, resolver una división de otra manera. Lo mismo sucede con el “pasar” números de un lado al otro de una ecuación: por ejemplo, en X + 3 = 7, el “+3” se convierte “mágicamente” en un “-3” cuando cambia de lado. Para algunos estudiantes resolver este tipo de ejercicios puede tornarse en una actividad casi lúdica, lo cual es muy deseable siempre y cuando el objetivo pedagógico se cumpla. Y, lamentablemente, en muchos casos, sin un fundamento o justificación clara que dé ganas de seguir, la mera resolución de ejercicios casi “sin pensar” puede tornarse repetitiva, tediosa o, peor aún, no ser útil para la “vida real”.
Ejercitar la estimación, por ejemplo, es una práctica usualmente desvalorada, pero que puede resultar útil tanto para el docente como para el estudiante, independientemente del nivel. Al docente le permite conocer cuán certera es la representación mental de su alumnado para las magnitudes y formatos con los que se esté trabando y cuán bien comprenden las operaciones que cada problema requiere. Esa información podrá permitirle ajustar las siguientes estrategias de enseñanza o apuntalar algunos conocimientos en caso de ser necesario. Ejercitar la estimación permite a los estudiantes poder reconocer si la respuesta que calcularon es razonable o poco probable y, en ese caso, rehacer la cuenta y/o evaluar procedimientos alternativos. Para lograr este ejercicio es importante que el docente valore la capacidad de estimar el resultado y no penalice, al menos no excesivamente, un número incorrecto cuando el resultado obtenido es una magnitud cercana. Porque en la vida cotidiana no suelen ser tan importantes los resultados precisos: para calcular el dinero que se gastará en una compra o el tiempo de viaje a un lugar suele ser más útil tener una idea de cuál será el número final, aunque no sea exacto.
Aprendizajes para el mundo real
Si el objetivo de la educación es preparar al alumnado para el “mundo real” al cual se enfrentarán, es deseable tener en cuenta la situación contextual y cultural en la que el grupo está inmerso. En este sentido, otra razón potencial de dificultad en el aprendizaje que plantea la literaturaxxx es que, muchas veces, el tipo de ejemplos o ejercicios dados en clase o en libros de texto[xxxi] no incluyen suficiente variedad, no son completamente abarcativos, no son culturalmente relevantes o no son elegidos teniendo en cuenta la vida cotidiana de las y los estudiantes. Por ejemplo, aunque un mismo número racional puede expresarse como fracción o como decimal, la elección de la representación puede afectar la manera en que se comprende. En este sentido, se ha planteado que conviene trabajar con números decimales cuando se requieren acciones que implican repartir, mientras que el aprendizaje de fracciones podría darse de un modo más perceptual, favoreciendo que el estudiantado ejercite la habilidad de extraer estructuras y patrones[xxxii].
A nivel cognitivo, resolver problemas mediante representaciones formales (sean de matemáticas, de física o ecuaciones químicas) requiere que una parte del conocimiento se adquiera de manera explícita (qué significa cada símbolo o qué partes hay que resolver primero, por ejemplo). Pero la caracterización de la estructura y la comprensión y generalización de esos conocimientos en su mayoría son un aprendizaje más bien implícito: en un momento, la cabeza “nos hace clic, nos cae la ficha”. Para lograr ese nivel de manejo de magnitudes es imprescindible ejercitarlo. Para poder comenzar a operar mentalmente con cantidades y a estimar es imprescindible que las magnitudes sean manejables. Es necesario comenzar con números pequeños y con operaciones sencillas y contextualmente cercanas, porque la “tangibilidad” ayuda en el aprendizaje.[xxxiii] Que los niños acompañen a hacer las compras, o que jueguen al Monopoly o al juego de rol de comprar y vender, por ejemplo, les permite ejercitar un desarrollo contextualizado de la comprensión numérica. Faltan aún estudios, pero es razonable pensar que el manejo virtual del dinero, cada vez más extendido, va en detrimento de este ejercicio “natural”, porque ya no hay más billetes ni monedas para contar en el mundo físico. Y los altos valores de las monedas de muchos países, producto de años de inflación acumulada, seguramente también complejicen este ejercicio práctico, antaño cotidiano.
Reflexiones finales
La evidencia indica que, si bien contamos con una base natural, innata, que permite que aflore la comprensión numérica y el aprendizaje y conocimiento de la matemática formal, esa base requiere ser ejercitada, entrenada de modo adecuado, sostenido y acompañado. Hay que hacerla practicar. Eso solo se logra con educación. La educación se monta sobre estas bases naturales para ajustarlas, hacerlas más precisas y más útiles para el mundo actual.
Estimar, comparar, medir, contar, enumerar, hacerse del vocabulario y comprender el significado y el alcance de las operaciones con las que se va a trabajar son algunas de las prácticas mencionadas en este artículo que, con demandas apropiadamente seleccionadas y progresivamente desafiantes, pero no frustrantes, permiten ir ganando cierto manejo natural de los números y magnitudes tal que generan la fluidez para poder entender el trasfondo de lo que se quiere resolver. Es clave considerar los objetivos reales de la educación que pretendemos, “para qué” enseñar lo que enseñamos, y evaluar si están contemplados dentro de las planificaciones, la formación docente, las currículas y la bibliografía y los materiales. Si lo que estamos enseñando, y el modo en que estamos haciéndolo, sienta las bases para “salir” a un mundo cambiante e incierto. Lograr el balance entre el contenido, los procedimientos y su apropiación efectiva para que las y los estudiantes puedan manejarse mejor en el mundo real es parte de lo que permitirá a los estudiantes de hoy poder resolver los problemas novedosos que depara el futuro.
[1] Las tareas que suelen usarse para estimular o evaluar el sentido numérico de modo perceptual consisten en realizar ejercicios que lo demanden inequívocamente. Por ejemplo, comparar, sumar o restar dos cantidades no simbólicas (nubes de puntos o conjuntos de objetos) que se muestran por un período tan breve de tiempo que no es posible llegar a contarlas (un segundo y medio, o incluso menos). La dificultad de la tarea se puede modular incrementando la cercanía de las dos cantidades (cuanto más similares sean, más difícil resultará su distinción).
[2] La linealidad implica, por ejemplo, que entre 1 y 2 existe la misma distancia que entre 1001 y 1002, aunque proporcionalmente la primera diferencia sea muy relevante y la segunda, insignificante.
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